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常用的巧算和速算方法

媽咪愛嬰網(wǎng) hltdp.com.cn 2013年05月11日 23:51:59

    常用的巧算和速算方法
【順逆相加】用“順逆相加”算式可求出若干個(gè)連續(xù)數(shù)的和。
例如著名的大數(shù)學(xué)家高斯(德國(guó))小時(shí)候就做過的“百數(shù)求和”題,可以計(jì)算為
1 + 2 + …… + 99 + 100
 
所以,1+2+3+4+……+99+100
=101×100÷2
=5050。

 “3+5+7+………+97+99=?
 
3+5+7+……+97+99=(99+3)×49÷2= 2499。

這種算法的思路,見于書籍中最早的是我國(guó)古代的《張丘建算經(jīng)》。張丘建利用這一思路巧妙地解答了“有女不善織”這一名題:
“今有女子不善織,日減功,遲。初日織五尺,末日織一尺,今三十日織訖。問織幾何?”
題目的意思是:有位婦女不善于織布,她每天織的布都比上一天減少一些,并且減少的數(shù)量都相等。她第一天織了5 尺布,最后一天織了1 尺,一共織了30 天。問她一共織了多少布?
張丘建在《算經(jīng)》上給出的解法是:
“并初末日織尺數(shù),半之,余以乘織訖日數(shù),即得。”“答曰:二匹一丈”。
這一解法,用現(xiàn)代的算式表達(dá),就是
1 匹=4 丈,1 丈=10 尺,
90 尺=9 丈=2 匹1 丈。(答略)
張丘建這一解法的思路,據(jù)推測(cè)為:如果把這婦女從第一天直到第30 天所織的布都加起來(lái),算式就是
5+…………+1
在這一算式中,每一個(gè)往后加的加數(shù),都會(huì)比它前一個(gè)緊挨著它的加數(shù),要遞減一個(gè)相同的數(shù),而這一遞減的數(shù)不會(huì)是個(gè)整數(shù)。若把這個(gè)式子反過來(lái),則算式便是
1+………………+5
此時(shí),每一個(gè)往后的加數(shù),就都會(huì)比它前一個(gè)緊挨著它的加數(shù),要遞增一個(gè)相同的數(shù)。同樣,這一遞增的相同的數(shù),也不是一個(gè)整數(shù)。
假若把上面這兩個(gè)式子相加,并在相加時(shí),利用“對(duì)應(yīng)的數(shù)相加和會(huì)相等”
這一特點(diǎn),那么,就會(huì)出現(xiàn)下面的式子:
 
所以,加得的結(jié)果是6×30=180(尺)
但這婦女用30 天織的布沒有180 尺,而只有180 尺布的一半。所以,這婦女30 天織的布是
180÷2=90(尺)
可見,這種解法的確是簡(jiǎn)單、巧妙和饒有趣味的。

【分組計(jì)算】一些看似很難計(jì)算的題目,采用“分組計(jì)算”的方法,往往可以使它很快地解答出來(lái)。
例如:
求1 到10 億這10 億個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和。
這道題是求“10 億個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和”,而不是“10 億個(gè)自然數(shù)之和”。
什么是“數(shù)字之和”?例如,求1 到12 這12 個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和,算式是
1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+1+2=5l。
顯然,10 億個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和,如果一個(gè)一個(gè)地相加,那是極麻煩,也極費(fèi)時(shí)間(很多年都難于算出結(jié)果)的。怎么辦呢?我們不妨在這10 億個(gè)自然數(shù)的前面添上一個(gè)“0”,改變數(shù)字的個(gè)數(shù),但不會(huì)改變計(jì)算的結(jié)果。然后,將它們分組:
0 和999,999,999;1 和999,999,998;
2 和999,999,997;3 和999,999,996;
4 和999,999,995;5 和999,999, 994;
……… ………
依次類推,可知除最后一個(gè)數(shù),1,000,000,000 以外,其他的自然數(shù)與添上的0 共10 億個(gè)數(shù),共可以分為5 億組,各組數(shù)字之和都是81,如
0+9+9+9+9+9+9+9+9+9=81
1+9+9+9+9+9+9+9+9+8=81
………………
最后的一個(gè)數(shù)1,000,000,000 不成對(duì),它的數(shù)字之和是1。所以,此題的計(jì)算結(jié)果是
(81×500,000,000)+1
=40,500,000,000+1
=40,500,000,001

【由小推大】“由小推大”是一種數(shù)學(xué)思維方法,也是一種速算、巧算技巧。
遇到有些題數(shù)目多,關(guān)系復(fù)雜時(shí),我們可以從數(shù)目較小的特殊情況入手,研究題目特點(diǎn),找出一般規(guī)律,再推出題目的結(jié)果。例如:
(1)計(jì)算下面方陣中所有的數(shù)的和。
這是個(gè)“100×100”的大方陣,數(shù)目很多,關(guān)系較為復(fù)雜。不妨先化大為小,再由小推大。先觀察“5×5”的方陣,如下圖(圖4.1)所示。
 

 


容易看到,對(duì)角線上五個(gè)“5”之和為25。
這時(shí),如果將對(duì)角線下面的部分(右下部分)用剪刀剪開,如圖4.2 那樣拼接,那么將會(huì)發(fā)現(xiàn),這五個(gè)斜行,每行數(shù)之和都是25。所以,“5×5”方陣的所有數(shù)之和為25×5=125,即53=125。
于是,很容易推出大的數(shù)陣“100×100”的方陣所有數(shù)之和為1003=1,000,000。
(2)把自然數(shù)中的偶數(shù),像圖4.3 那樣排成五列。最左邊的叫第一列,按從左到右的順序,其他叫第二、第三……第五列。那么2002 出現(xiàn)在哪一列:

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